Jaka jest największa liczba? Uwaga, może zakręcić się w głowie

Na początek, musimy zdefiniować, co rozumiemy przez liczbę. W matematyce liczby są obiektami, które służą do reprezentowania ilości, wielkości, porządku, relacji, miary, kształtu, czy innych właściwości. Liczby mogą być zapisywane za pomocą różnych systemów liczbowych, takich jak system dziesiętny, binarny, rzymski, czy heksadecymalny. Liczby mogą być również podzielone na różne rodzaje, takie jak liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste, czy zespolone.

W tym artykule skupimy się na liczbach naturalnych, czyli takich, które służą do liczenia i porządkowania. Liczby naturalne to np. 1, 2, 3, 4, 5, … i tak dalej. Zauważ, że w tym zbiorze nie ma końca. Zawsze możemy dodać do dowolnej liczby naturalnej 1 i otrzymać kolejną liczbę naturalną. To oznacza, że nie istnieje największa liczba naturalna. Niezależnie od tego, jak dużą liczbę wybierzemy, zawsze będzie można znaleźć większą.

Więcej ciekawostek znajdziesz na spider`s Web:

Skoro nie ma największej liczby naturalnej, to jak nazywamy te bardzo duże liczby, które wykraczają poza naszą codzienną intuicję? Czy istnieją jakieś nazwy lub symbole, które ułatwiają nam operowanie na takich liczbach?

Odpowiedź brzmi: tak, istnieją. Jednym ze sposobów na nazywanie bardzo dużych liczb jest używanie przedrostków, takich jak tysiąc, milion, miliard, bilion, trylion, kwadrylion, kwintylion, sekstylion, septylion, oktylion, nonylion, decylion, … i tak dalej. Każdy kolejny przedrostek oznacza, że dodajemy do liczby trzy zera. Na przykład:

Można też używać notacji naukowej, w której zapisujemy liczbę jako iloczyn dwóch czynników: liczby od 1 do 10 i potęgi dziesiątki. Na przykład:

Notacja naukowa jest bardzo przydatna, gdy chcemy porównywać wielkości różnych liczb, ponieważ wystarczy spojrzeć na wykładnik potęgi dziesiątki, aby stwierdzić, która liczba jest większa. Im większy wykładnik, tym większa liczba.

Używając przedrostków i notacji naukowej, możemy nazywać i zapisywać bardzo duże liczby, ale czy są to największe liczby, jakie ludzie wymyślili? Odpowiedź brzmi: nie, są to tylko ułamki tego, co ludzie potrafią wymyślić. W matematyce istnieją liczby tak duże, że nie da się ich wyrazić za pomocą żadnego znanego systemu liczbowego, ani nawet za pomocą całych słowników.

Jednym z przykładów jest liczba Grahama. Jest to liczba, która została użyta w dowodzie pewnego twierdzenia z teorii grafów. Nie ma sensu próbować zapisywać tej liczby za pomocą cyfr, przedrostków, czy notacji naukowej, ponieważ jest ona tak ogromna, że zawiera więcej cyfr niż jest atomów we wszechrzeczy.

Nie jesteśmy nawet w stanie wyobrazić sobie, jak duża jest ta liczba. Jedynym sposobem na opisanie tej liczby jest używanie specjalnej notacji matematycznej, która pozwala na tworzenie bardzo dużych liczb za pomocą operacji rekurencyjnych. Nawet używając tej notacji, liczba Grahama zajmuje kilka linijek tekstu i wymaga specjalnego objaśnienia. Liczba ta została wpisana do Księgi rekordów Guinnessa jako największa liczba użyta w twierdzeniu matematycznym.

Innym przykładem jest liczba TREE(3). Jest to liczba, która została użyta w dowodzie pewnego twierdzenia z teorii drzew. Podobnie jak liczba Grahama, nie da się jej zapisywać za pomocą zwykłych systemów liczbowych, ani nawet za pomocą specjalnej notacji matematycznej. Liczba TREE(3) jest tak ogromna, że nie da się jej opisać za pomocą żadnego znanego języka, ani nawet za pomocą wszystkich możliwych języków. Nie jesteśmy w stanie zrozumieć, jak duża jest ta liczba, ani nawet porównać ją z innymi liczbami. Wiadome jest, że jest to liczba skończona, chociaż niewyobrażalnie ogromna i że TREE(3) jest znacznie większe od liczby Grahama. Jest to liczba, która istnieje tylko w abstrakcyjnym świecie matematyki.

Googolplex to kolejna liczba, która wykracza nie tylko poza naszą ludzką intuicję, ale i skończoną rzeczywistość. Nie ma żadnego fizycznego znaczenia ani zastosowania dla tej liczby, ponieważ nie da się jej zmierzyć, porównać, czy użyć do opisu jakiegokolwiek zjawiska. Googolplex jest raczej koncepcją matematyczną, która pokazuje, jak daleko możemy posunąć się w tworzeniu bardzo dużych liczb.

W 1920 r. dziewięcioletni bratanek Edwarda Kasnera, Milton Sirotta, ukuł termin googol, który oznacza 10¹⁰⁰, a następnie zaproponował dalszy termin googolplex na "jedynka, po której należy pisać zera, aż się zmęczysz". Kasner zdecydował się przyjąć bardziej formalną definicję, ponieważ "różni ludzie męczą się w różnym czasie i nigdy nie byłoby dobrze, gdyby Carnera (znany w latach 20. XX wieku bokser) był lepszym matematykiem niż dr Einstein, po prostu dlatego, że miał większą wytrzymałość i mógł pisać dłużej".

Googolplex jest tak olbrzymią liczbą, że zapisanie tak dużej liczby w systemie dziesiętnym jako jedynki i ciągu zer jest fizycznie niemożliwe, gdyż liczba jej cyfr dziesiętnych jest większa od liczby dostępnych atomów w znanym nam Wszechświecie. Astronom Carl Sagan oszacował, że zapisanie googolplexu w pełnej formie dziesiętnej (tj. „10 000 000 000…”) byłoby fizycznie niemożliwe, ponieważ wymagałoby to więcej przestrzeni, niż jest dostępna w znanym wszechświecie.

Można by pomyśleć, że liczby nieprzedstawialne są największymi obiektami, jakie ludzie wymyślili. Jednak w matematyce istnieją jeszcze inne pojęcia, które są jeszcze większe i bardziej nieuchwytne niż liczby. Takimi pojęciami są nieskończoności.

Nieskończoność to pojęcie, które oznacza coś, co nie ma końca, granicy, czy miary. Nieskończoność nie jest liczbą, ponieważ nie można jej dodać, odjąć, pomnożyć, czy podzielić przez inną liczbę. Nieskończoność jest raczej koncepcją, która wyraża pewną własność lub relację.

Na przykład, możemy powiedzieć, że liczba naturalnych liczb jest nieskończona, ponieważ nie ma największej liczby naturalnej. Możemy też powiedzieć, że odcinek jest nieskończenie dzielny, ponieważ zawsze możemy podzielić go na dwie mniejsze części. Możemy też powiedzieć, że granica funkcji jest nieskończona, gdy wartość funkcji rośnie lub maleje bez ograniczenia, gdy argument funkcji dąży do pewnej wartości.

Okazuje się, że nie wszystkie nieskończoności są takie same. W matematyce istnieją różne sposoby na porównywanie i klasyfikowanie nieskończoności. Jednym z nich jest teoria mnogości, która zajmuje się badaniem zbiorów, czyli kolekcji obiektów.

W teorii mnogości możemy porównywać nieskończoności za pomocą pojęcia mocy zbioru, która oznacza liczbę elementów w zbiorze. Na przykład, moc zbioru {1, 2, 3} jest równa 3, ponieważ zbiór ten ma trzy elementy. Moc zbioru liczb naturalnych jest nieskończona, ponieważ zbiór ten ma nieskończenie wiele elementów.

Możemy też porównywać moce zbiorów za pomocą pojęcia równoliczności, która oznacza, że istnieje bijekcja, czyli wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie, między elementami dwóch zbiorów. Na przykład, zbiór liczb parzystych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, ponieważ możemy przyporządkować każdej liczbie naturalnej liczbę parzystą, mnożąc ją przez 2. Zbiór liczb wymiernych jest również równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, ponieważ możemy przyporządkować każdej liczbie wymiernej liczbę naturalną, używając tzw. przekątnej Cantora.

Zbiory, które są równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych, nazywamy przeliczalnymi, ponieważ możemy je policzyć za pomocą liczb naturalnych. Przeliczalne zbiory mają nieskończoną moc, ale jest to nieskończoność najmniejszego rodzaju, nazywana nieskończonością przeliczalną. Oznaczamy ją symbolem alef zero.

Okazuje się jednak, że istnieją zbiory, które nie są przeliczalne, czyli nie da się ich policzyć za pomocą liczb naturalnych. Przykładem takiego zbioru jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli liczb, które można zapisać za pomocą nieskończonego ciągu cyfr po kropce dziesiętnej. Zbiór ten jest tak duży, że nie istnieje żadna bijekcja między nim a zbiorem liczb naturalnych. Można to udowodnić za pomocą tzw. dowodu Cantora, który pokazuje, że zawsze można znaleźć liczbę rzeczywistą, która nie jest przyporządkowana do żadnej liczby naturalnej.

Zbiory, które nie są przeliczalne, nazywamy nieprzeliczalnymi, ponieważ nie możemy ich policzyć za pomocą liczb naturalnych. Nieprzeliczalne zbiory mają nieskończoną moc, ale jest to nieskończoność większego rodzaju niż nieskończoność przeliczalna. Nieskończoność nieprzeliczalna jest oznaczana symbolem alef jeden.

Podsumowując, nie ma jednoznacznej odpowiedzi na pytanie, jaka jest największa liczba. Wszystko zależy od tego, jak definiujemy liczbę i jakie kryteria przyjmujemy do jej porównywania. W matematyce istnieją bardzo duże liczby, takie jak googol, googolplex, liczba Grahama, czy liczba TREE(3), które wykraczają poza naszą ludzką intuicję i skończoną rzeczywistość.

Istnieją też nieskończoności różnych rodzajów, które nie są liczbami, ale koncepcjami, które wyrażają pewne własności lub relacje. Duże liczby mają wiele zastosowań w matematyce, zarówno teoretycznej, jak i praktycznej, ale nie są one łatwe do zrozumienia i opisania. Dlatego warto się nimi zainteresować i poszerzać swoją wiedzę i wyobraźnię.