Matematycy bili ten rekord latami. Claude potrzebował kilku dni

Matematycy potrzebowali 18 lat, aby przesunąć rekord z 28 do 29. Kolejny poziom utrzymał się zaledwie 2 lata. A potem wszystko przyspieszyło: Claude wraz z matematykiem Leventem Alpöge i kryptografką Avą Howell znalazł najpierw krzywą eliptyczną o randze co najmniej 30, a 3 dni później kolejną. Tym razem o randze co najmniej 31. To rekord w dziedzinie, w której każdy kolejny krok potrafił kosztować matematyków lata pracy.

Krzywe eliptyczne mają mylącą nazwę, bo nie są elipsami. W najprostszej postaci można je opisać równaniem przypominającym:

y² = x³ + Ax + B

Matematycy interesują się nie tylko kształtem wykresu, lecz przede wszystkim punktami wymiernymi, czyli takimi punktami leżącymi na krzywej, których współrzędne można zapisać jako ułamki liczb całkowitych. I tutaj zaczyna się znacznie głębsza matematyka.

Punkty te można ze sobą w pewnym sensie dodawać. Jeśli przez dwa punkty krzywej przeprowadzimy prostą, zwykle przetnie ona krzywą jeszcze w jednym miejscu. Z wykorzystaniem kilku dodatkowych reguł można w ten sposób tworzyć następne punkty. Powstaje struktura matematyczna zwana grupą.

Niektóre punkty są przy tym niezależne od pozostałych. Można potraktować je jak podstawowe składniki, z których za pomocą odpowiednich operacji otrzymujemy ogromne rodziny innych punktów. Liczba takich niezależnych generatorów określa właśnie rangę krzywej.

Historia rekordów dobrze pokazuje, jak trudne jest ich poprawianie. W 2000 r. znana była krzywa o randze co najmniej 24. W 2006 r. Noam Elkies znalazł przykład osiągający co najmniej 28. I na tym postęp praktycznie się zatrzymał. Dopiero w 2024 r. Elkies wspólnie z Zevem Klagsbrunem podniósł rekord do co najmniej 29. 18 lat pracy całej społeczności matematycznej przyniosło więc zmianę o 1. Potem do gry weszli Levent Alpöge, Ava Howell i wewnętrzna wersja Claude'a rozwijana przez Anthropic.

20 sierpnia 2026 r. do bazy rekordowych krzywych trafił przykład o randze co najmniej 30. Poprzedni rekord przetrwał więc około 2 lat. Tym razem nie trzeba było czekać kolejnych kilkunastu. 23 sierpnia pojawiła się następna krzywa. Ranga: co najmniej 31. W ciągu kilku dni zespół zrobił zatem 2 kroki w dziedzinie, w której wcześniej pojedynczy krok potrafił wymagać kilkunastu lat.

Krzywa o randze 1 potrzebuje zasadniczo 1 takiego niezależnego źródła nieskończonej rodziny punktów. Przy randze 2 potrzebne są 2. Im wyższa ranga, tym bogatsza staje się struktura punktów wymiernych. Rekord wynosi teraz co najmniej 31.

Przy matematycznych osiągnięciach modeli językowych natychmiast pojawia się zasadne pytanie: czy model rzeczywiście coś znalazł, czy tylko wygenerował bardzo przekonująco wyglądające równanie?

Dla rekordowej krzywej przedstawiono 31 niezależnych punktów wymiernych nieskończonego rzędu. To właśnie one pozwalają stwierdzić, że jej ranga wynosi co najmniej 31. Innymi słowy, nie wystarczyło napisać przy równaniu liczby 31. Trzeba było dostarczyć matematycznych świadków potwierdzających ten wynik. Sam zapis krzywej jest przy tym absurdalnie duży. Współczynniki równania zawierają dziesiątki cyfr, a współrzędne punktów również przyjmują gigantyczne wartości.

Nie ma więc większego sensu próbować oglądać tej krzywej jak zwykłego wykresu. Rekord nie oznacza też, że jest ona najbardziej skomplikowaną krzywą matematyczną pod każdym możliwym względem. Chodzi konkretnie o najwyższą znaną rangę krzywej eliptycznej nad liczbami wymiernymi.

Bezwarunkowo wiadomo, że ranga wynosi co najmniej 31. Autorzy podają również argument pozwalający uzyskać dokładną wartość 31, ale wymaga on przyjęcia dwóch słynnych założeń matematycznych: uogólnionej hipotezy Riemanna oraz hipotezy Bircha i Swinnertona-Dyera. Ta druga jest szczególnie ciekawa, ponieważ sama należy do największych otwartych problemów współczesnej matematyki.

Poszukiwanie coraz wyższych rang nie jest wyłącznie biciem rekordu dla samego rekordu. Matematycy nadal nie wiedzą, czy rangi krzywych eliptycznych nad liczbami wymiernymi mogą rosnąć bez ograniczeń. Być może gdzieś istnieje maksymalna możliwa wartość. A być może można znaleźć krzywe o randze 50, 100, 1000 i dowolnie większej. Każdy nowy rekord dostarcza kolejnego punktu zaczepienia, ale ranga 31 nie rozwiązuje tego problemu. Pokazuje jedynie, że jeśli górna granica istnieje, znajduje się jeszcze wyżej.

Co ciekawe, krzywe eliptyczne nie są tylko abstrakcyjną zabawką matematyków. Ich właściwości wykorzystuje się m.in. w kryptografii. To na matematyce krzywych eliptycznych opierają się popularne systemy zabezpieczające komunikację i podpisy cyfrowe. Nie należy jednak wyciągać z nowego rekordu wniosku, że Claude właśnie złamał współczesną kryptografię. Badania nad wysokimi rangami dotyczą innego problemu matematycznego i nie oznaczają znalezienia prostego ataku na stosowane dziś zabezpieczenia.

Ostatnie miesiące przyniosły serię wyników pokazujących, że najnowsze modele zaczynają radzić sobie z problemami znacznie wykraczającymi poza szkolną matematykę. Jak już wcześniej pisaliśmy, jeszcze w czerwcu modele AI wykładały się na specjalnie przygotowanych, niepublikowanych problemach pochodzących z prawdziwych badań matematycznych. Test był celowo brutalny i pokazywał, że między ładnie wyglądającym rozumowaniem a rzeczywistą matematyką badawczą pozostawała duża przepaść. Kilka miesięcy później obraz wygląda już inaczej.

Niedawno głośno zrobiło się również o wykorzystaniu najnowszych modeli przy pracach nad problemem Naviera-Stokesa. Tam sytuacja jest bardziej skomplikowana i wywołała spór dotyczący pochodzenia wykorzystanych pomysłów, ale sam kierunek zmian trudno przeoczyć.

Przeczytaj także:

W przypadku rekordowych krzywych też trzeba zachować ostrożność. Publicznie nie opisano jeszcze szczegółowo, jak dokładnie podzielona była praca między Claude'a a Alpöge i Howell. Wiemy, że wykorzystano wewnętrzną, niedostępną publicznie wersję modelu Anthropic oraz że efekt został zapisany jako wspólne osiągnięcie Claude'a i dwóch badaczy. Nie ma natomiast pełnej publikacji pokazującej krok po kroku cały proces poszukiwania.

*Grafika wprowadzająca wygenerowana przez AI