Matematyk stworzył niezwykłą bryłę. Wymyka się intuicji

Bryła ta ma zaledwie osiem ścian, ale każda z nich sąsiaduje ze wszystkimi pozostałymi. Brzmi jak coś, co powinno być niemożliwe do zbudowania w trzech wymiarach. A jednak niezależny badacz Ruslan Mizhaev pokazał konkretną realizację takiego obiektu z 24 wierzchołkami, 36 krawędziami i trzema dziurami. Co więcej, wszystkie współrzędne jego wierzchołków są zwykłymi liczbami całkowitymi.

Wyniki tego badania opublikowano na serwerze arXiv, a opisuje je serwis New Scientist.

Na pierwszy rzut oka osiem ścian nie robi wielkiego wrażenia. Można przecież bez problemu wyobrazić sobie ośmiościan. Klasyczny ośmiościan ma jednak zupełnie inną strukturę. W konstrukcji Mizhaeva każda z ośmiu ścian jest dziewięciokątem, a każda ściana ma wspólną krawędź z każdą z pozostałych siedmiu.

To właśnie ta właściwość sprawia, że obiekt jest tak niezwykły. Nie mamy tutaj zwyczajnej, wypukłej bryły przypominającej kostkę czy piramidę. Powierzchnia jest mocno przewiercona i zawija się w przestrzeni w taki sposób, że pomiędzy jej częściami powstają trzy tunele.

Matematycznie jest to wielościan rodzaju 3. W języku topologii oznacza to powierzchnię z trzema uchwytami, czyli trzema otworami przechodzącymi na wylot. Najłatwiej wyobrazić sobie tutaj pączka. Zwykły obwarzanek ma jeden taki tunel, więc jest powierzchnią rodzaju 1. W przypadku badanego obiektu mamy ich trzy.

Jest przy tym jeszcze jeden szczegół, który czyni konstrukcję szczególnie interesującą. Każda para spośród ośmiu ścian jest sąsiadująca. W 20 parach ściany mają wspólną jedną krawędź, natomiast osiem par dzieli między sobą aż dwie krawędzie.

Największym problemem w takich konstrukcjach nie jest samo wymyślenie reguł opisujących, które elementy powinny się ze sobą łączyć. Znacznie trudniejsze okazuje się sprawienie, żeby z tych reguł rzeczywiście powstał prawdziwy obiekt w trójwymiarowej przestrzeni.

Można bowiem powiedzieć: ta krawędź ma łączyć te dwa wierzchołki, a ta ściana ma sąsiadować z tamtą. Problem zaczyna się wtedy, gdy próbujemy nadać wszystkim punktom konkretne położenie. Nagle może się okazać, że dwie ściany przecinają się w miejscu, w którym absolutnie nie powinny, albo że jeden z wielokątów nie jest płaski.

Mizhaev przedstawił rozwiązanie tego problemu. Każdy z 24 wierzchołków otrzymał współrzędne będące liczbami całkowitymi. Do tego badacz podał równania płaszczyzn, na których leżą poszczególne dziewięciokąty, oraz dokładny sposób połączenia wierzchołków.

Dzięki temu można matematycznie zweryfikować, że ściany są płaskie, powierzchnia jest zamknięta, a niepożądane przecięcia nie występują. Konstrukcja ma również symetrię obrotową typu C4.

W pracach nad najnowszą wersją konstrukcji pojawiło się również narzędzie, które może być szczególnie interesujące i jest znakiem nowych czasów. Mizhaev wykorzystał ChatGPT między innymi do części obliczeń weryfikacyjnych oraz tworzenia skryptów w Pythonie.

Nie oznacza to jednak, że sztuczna inteligencja odkryła tę bryłę. Jej pierwotna konstrukcja powstała jeszcze w 2020 r., zanim badacz zaczął korzystać z ChatGPT. AI została wykorzystana później jako pomoc przy sprawdzaniu i automatyzowaniu części obliczeń.

To zresztą dobrze pokazuje, gdzie w takich problemach leży prawdziwa trudność. Komputer może błyskawicznie sprawdzić tysiące zależności, ale najpierw trzeba wiedzieć, czego właściwie szukać.

W odkryciu tym nie chodzi o to, że właśnie powstała nowa bryła, którą za chwilę znajdziemy w zestawie klocków. To przede wszystkim interesujący problem z pogranicza geometrii, topologii i teorii grafów.

Topologia zajmuje się właściwościami obiektów, które pozostają niezmienione podczas rozciągania czy wyginania. Dla topologa kula pozostaje kulą nawet wtedy, gdy ją zdeformujemy, natomiast pączek nadal będzie miał jeden otwór. W przypadku konstrukcji Mizhaeva kluczowe jest właśnie to, że jej powierzchnia ma rodzaj 3.

Podobne problemy pokazują też, jak duża może być różnica między opisaniem matematycznej struktury a jej fizycznym zrealizowaniem. Można bardzo precyzyjnie określić, które elementy powinny być połączone, ale znalezienie współrzędnych wszystkich punktów tak, aby całość rzeczywiście dało się umieścić w przestrzeni bez niedozwolonych przecięć, jest znacznie trudniejszym zadaniem.

Jak powiedział serwisowi New Scientist Lars Schewe z University of Edinburgh, tego rodzaju konstrukcje są trudne właśnie dlatego, że nie istnieje prosty, uniwersalny sposób ich znajdowania. Można próbować rozwiązywać ogromne układy równań, prowadzić poszukiwania komputerowe albo kierować się geometryczną intuicją. Nowa realizacja nie rozwiązuje więc całego problemu, ale dokłada kolejny konkretny element do większej matematycznej układanki.

I właśnie dlatego ta pozornie dziwaczna bryła jest ciekawsza, niż mogłoby się wydawać. Osiem ścian, 24 wierzchołki, 36 krawędzi i trzy otwory wystarczyły, by stworzyć problem, z którym intuicyjna geometria kompletnie sobie nie radzi.

Główna ilustracja przygotowana przez AI.